베이즈 확률표 Bayesian probability table - 3

Likelihood가 binomial 분포를 따를때 베이즈확률표를 계산해보도록 한다.

한번 수행할때 $\pi$의 성공확률이 있는 시행을 N번 수행했을때 y번 성공할 확률은 $binomial(n, $pi)$를 따르는데 이를 Bayesian으로 나타내면

$$p(y | \,  \pi) = \left(\begin{array}{c}N\\ y\end{array}\right) \pi^y (1-\pi)^{N-y}$$

이다.

 

예를들어,

한번 수행했을때의 성공확률 $\pi$가 0.4, 0.5, 0.6인 시행이 있다고 가정하자(실제로는 무한대의 $\pi$가 존재하지만 여기서는 문제를 간략히 하기 위하여 0.4, 0.5, 0.6만 존재한다고 가정하였다). 이 시행을 N=4번 수행할때 y=3번 성공했다면 $\pi$의 값 0.4, 0.5, 0.6 중 어느값이 가장 큰 확률을 갖는지 계산해보자.

 

$\pi$의 prior는 3개 모두 같은 확률로 나타난다고 가정하여 1/3로 둔다.

$\pi$	prior  $p(\pi)$	likelihood,  $p(y | \, \pi)$	likelihood x prior	posterior
0.4  0.5  0.6	1/3  1/3  1/3
sum

위 표의 likelihood를 계산해보자.

$N=4, y=3, \pi=0.4$일때 $ \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) 0.4^3 (1-0.4)^{4-3} = 0.1536$

$N=4, y=3, \pi=0.5$일때 $ \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) 0.5^3 (1-0.5)^{4-3} = 0.25$

$N=4, y=3, \pi=0.6$일때 $ \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) 0.6^3 (1-0.6)^{4-3} = 0.3456$

 

위와같이 손으로 계산하지 않고 R에서 함수를 사용하면

> dbinom(x=3, size=4, prob=0.4)
[1] 0.1536

> dbinom(x=3, size=4, prob=0.5)
[1] 0.25

> dbinom(x=3, size=4, prob=0.6)
[1] 0.3456

위 계산된 값으로 표를 채운다.

$\pi$	prior  $p(\pi)$	likelihood,  $p(y | \, \pi)$	likelihood x prior	posterior
0.4  0.5  0.6	1/3  1/3  1/3	0.1536  0.25  0.3456	0.0512  0.0833  0.1152	0.2050  0.3336  0.4614
sum			0.2497

따라서 $\pi$는 0.6일 확률이 가장크다.