포아송 분포(Poisson distribution)

어떤 사건이 시간당 발생할 속도(비율)이 평균적으로 이미 알려져 있고 이 값을 $r$라고 가정하자. 즉 일정시간 $N$당 이 사건이 $k$번 일어난다고 이미 알려져 있다면 $r = k / N$이다. 이때 이 사건이 $t$라는 시간동안 $x$번 일어날 확률을 구하면 이는 Poisson distribution에 해당되며 아래와 같이 구한다.

$$Pr(x) = \frac {(r \, t)^x e^{-rt}} {x!}$$

여기서 $rt$를 $\lambda$로 주로 나타내고 rate parameter라고도 부른다. Probability mass function을 $\lambda$와 같이 나타내면

$$f(x; \lambda) = Pr(X=x) = \frac {\lambda^x e^{-\lambda}} {x!}$$

로 나타낼수 있다.

 

예제 1)

하늘에서 유성우가 떨어지는 사건은 12분에 1번씩 일어난다고 알려져있다고 가정할때 우리가 밤에 하늘을 1시간 동안 보고 있을때 x번 유성우를 볼 확률은 무엇인지 알아보면

 

$N = 12 \; \textrm{min}$

$k = 1$

$r = 1/12 \; \textrm{min}^{-1}$

$t = 1 \; \textrm{hr} = 60 \; \textrm{min}$

$\lambda = rt = (1/12 \; \textrm{min}^{-1}) (60 \; \textrm{min}) = 5$

$Pr(x) = \left(5^x e^{-5} \right)/ x!$

 

만약 밤하늘에서 유성우를 3번 관찰할 확률을 구한다면

$Pr(x = 3) = 5^3 e^{-5} / 3! = 0.14$

> ppois(3, lambda=5) - ppois(2, lambda=5)
[1] 0.1403739

 

포아송 분포는 시간과 관련된 속도뿐만 아니라 모든 물리량에 적용가능하다.

 

예제 2)

구리선을 만들때 작은구멍이 평균적으로 1밀리미터당 2.3개 발생한다고 알려져있다고 가정하자. 이때 1밀리미터를 검사했을때 작은구멍이 2개 발견될 확률을 구하면

 

N = 1 mm

k = 2.3

t = 1 mm

$\lambda = (k/N) t = (2.3 / 1) \times 1 = 2.3$

$Pr(x=2) = \left(2.3^2 \times e^{-2.3} \right)/ 2!$

> ppois(2, lambda=2.3) - ppois(1, lambda=2.3)
[1] 0.2651846

 

1밀리미터당 2.3개 작은구멍이 발생된다고 알려져있다고 가정하고
5 밀리미터를 검사했을때 10개의 구멍이 발견될 확률은?

$\lambda = (2.3 / 1) \times 5 = 11.5$

> ppois(10, lambda=11.5) - ppois(9, lambda=11.5)
[1] 0.1129351

 

예제 3)

DVD 표면에 흠집이 10$cm^2$당 1개가 평균적으로 발생한다고 알려져있다고 가정하자. 100 $cm^2$의 DVD를 검사할때 흠집이 12개 발견될 확률을 구하면

 

$N = 10 \textrm{cm}^2$

$k = 1$

$t = 100 \textrm{cm}^2$

$r = k / N = 0.1 \textrm{cm}^{-2}$

$\lambda = r \, t = (0.1 \textrm{cm}^{-2}) (100 \textrm{cm}^2) = 10$

> ppois(12, lambda=10) - ppois(11, lambda=10)
[1] 0.09478033