확률이론 정리 1

 

모집단으로부터 표본을 취하여 모집단의 물리량을 추정한다.

 

표본공간(Sample space, outcome space), S)

모든 가능한 랜던샘플의 집합이다.

 

"잠을 푹 잤는가?"라는 질문이라면 표본공간은

S= {yes, no}

 

질문이 하루에 잠을 몇시간 자는가라면

$\textbf{S} = \left\{ h : h \ge 0 \right\}$

 

한달에 여자들이 남자들보다 우는 날이 더 많은가라는 질문이라면

$\textbf{S} = \left\{0, 1, 2, \cdots, 31 \right\}$

 

Events

무작위실험을 했을때 표본공간의 부분집합을 말한다. 주로 대문자 A, B, C 등으로 나타낸다. 무작위실험을 한번 했을때 나오는 결과는 outcome이라고 한다.

$$A \subset \textbf{S}$$

 

기타사항들

• $\emptyset$ is null set or empty set
• Union: $C \cup D$
• Intersection: $A \cap B$
• Complement: $D^c$

 

Probability as a relative frequency

실험 한가지를 매우 많이 n번 실행했을때 사건 A가 N번 나왔을때 P(A)..

$P(A) = \frac {N(A)}{n}$

 

Axioms

• $P(A) \ge 0$
• $P(\textbf{S}) = 1$
• Mutually exclusive events, $A_1 , A_2 , A_3 , \cdots$에 대하여(즉 $i \ne j$에 대해 $A_i \cap A_j = \emptyset$일때)
  $P( A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cap A_k  ) = P(A_1 ) + P(A_2 ) + \cdots + P(A_k )$

 

Theorems

• $P(A) = 1 - P(A^c )$
• $P(\emptyset) = 0$
• 두 사건 A와 B에 대하여 $A \subseteq B$이면 $P(A) \le P(B)$
• $P(A) \le 1$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Permutation

n개의 개체를 서로다른 r개의 위치에 놓을수 있는 가지수

$$ _n {P\,}_r = \frac {n!} {(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \left[n-(r-1)\right] $$

 

Combination

n개의 개체를 순서없이 r개의 위치에 놓을수 있는 가지수

$$ _n {C \,}_r = \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) = \frac {n!}{r! (n-r)!}  $$

또는

$$ _n {C \,}_r = \frac { _n {P\,}_r }{r!} $$

 

조건부확률

$$P(A | B) = \frac {P(A \cap B)} {P(B)}$$

 

조건부확률 성질

$P(A|B) \ge 0$

$P(B |B) = 1$

$A_1 , A_2 , \cdots, A_k$가 mutually exclusive일때

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k |B) = P(A_1 |B) + P(A_2 |B) + \cdots + P(A_k |B)$

 

곱하기규칙

두 사건이 동시에 일어날 확률

$P(A \cap B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)$

 

세사건에 대해서

$P(A \cap B \cap C)=P[(A \cap B) \cap C)]=\underbrace{P(C | A \cap B)}_{a} \times \underbrace{P(A \cap B)}_{b}$

$P(A \cap B)=\underbrace{P(B | A) \times P(A)}_{b}\colon$

$P(A \cap B \cap C)=\underbrace{P(C | A \cap B)}_{a} \times \underbrace{P(B | A) \times P(A)}_{b}$

 

독립사건

한 사건이 다른사건의 확률에 두사건은 서로 독립이다.

$$P(B | A) = P(B)$$

$$P(A | B) = P(A)$$

두 사건이 독립일때 교집합의 확률은 다음과 같다.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B | A) = P(A) \times P(B)$

 

두사건이 독립일 필요충분조건

두 사건 A와 B가 독립일 필요충분조건은

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

 

정리: 독립사건

1. 두사건 A와 B가 서로 독립이면 두사건 A와 $\textrm{B}^c$도 독립이다.

$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c | A) $

$= P(A) \cdot \left[ 1 - P(B | A) \right]$

$ = P(A) \cdot \left[ 1 - P(B) \right]$

$= P(A) \cdot P(B^c)$

2. 두사건 A와 B가 독립이면 $\textrm{A}^c$와 B도 독립이다.

3. 두사건 A와 B가 독립이면 $\textrm{A}^c$와 $\textrm{b}^c$도 독립이다.

$P(A^c \cap B^c) = P\left[ \left( A \cup B \right)^c \right] $

$ = 1 - P(A \cup B)$

$ = 1 - \left[ P(A) + P(B) - P(A \cap B) \right]$

$ = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$

$ = (1 - P(A))(1-P(B))$

$ = P(A^c) P(B^c)$

 

상호독립사건

세 사건 A, B, C가 상호독립(mutually independent)이기 위한 필요충분 조건

1. 두사건이 서로 독립

$$P(A \cap B) = P(A) P(B)$$

$$P(A \cap C) = P(A) P(C)$$

$$P(B \cap C) = P(B) P(C)$$

2. 세사건의 교집합

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$$