獨斷論

확률이론 정리 1 본문

과학과 기술/통계이론설명

확률이론 정리 1

부르칸 2021. 10. 7. 02:06

 

모집단으로부터 표본을 취하여 모집단의 물리량을 추정한다.

 

표본공간(Sample space, outcome space), S)

모든 가능한 랜던샘플의 집합이다.

 

"잠을 푹 잤는가?"라는 질문이라면 표본공간은

S= {yes, no}

 

질문이 하루에 잠을 몇시간 자는가라면

S={h:h0}

 

한달에 여자들이 남자들보다 우는 날이 더 많은가라는 질문이라면

S={0,1,2,,31}

 

Events

무작위실험을 했을때 표본공간의 부분집합을 말한다. 주로 대문자 A, B, C 등으로 나타낸다. 무작위실험을 한번 했을때 나오는 결과는 outcome이라고 한다.

AS

 

기타사항들

  • is null set or empty set
  • Union: CD
  • Intersection: AB
  • Complement: Dc

 

Probability as a relative frequency

실험 한가지를 매우 많이 n번 실행했을때 사건 A가 N번 나왔을때 P(A)..

P(A)=N(A)n

 

Axioms

  • P(A)0
  • P(S)=1
  • Mutually exclusive events, A1,A2,A3,에 대하여(즉 ij에 대해 AiAj=일때)
    P(A1A2Ak)=P(A1)+P(A2)++P(Ak)

 

Theorems

  • P(A)=1P(Ac)
  • P()=0
  • 두 사건 A와 B에 대하여 AB이면 P(A)P(B)
  • P(A)1
  • P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

Permutation

n개의 개체를 서로다른 r개의 위치에 놓을수 있는 가지수

nPr=n!(nr)!=n×(n1)×[n(r1)]

 

Combination

n개의 개체를 순서없이 r개의 위치에 놓을수 있는 가지수

nCr=(nr)=n!r!(nr)!

또는

nCr=nPrr!

 

조건부확률

P(A|B)=P(AB)P(B)

 

조건부확률 성질

P(A|B)0

P(B|B)=1

A1,A2,,Ak가 mutually exclusive일때

P(A1A2Ak|B)=P(A1|B)+P(A2|B)++P(Ak|B)

 

곱하기규칙

두 사건이 동시에 일어날 확률

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)

 

세사건에 대해서

P(ABC)=P[(AB)C)]=P(C|AB)a×P(AB)b

P(AB)=P(B|A)×P(A)b:

P(ABC)=P(C|AB)a×P(B|A)×P(A)b

 

독립사건

한 사건이 다른사건의 확률에 두사건은 서로 독립이다.

P(B|A)=P(B)

P(A|B)=P(A)

두 사건이 독립일때 교집합의 확률은 다음과 같다.

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(A)×P(B)

 

두사건이 독립일 필요충분조건

두 사건 A와 B가 독립일 필요충분조건은

P(AB)=P(A)×P(B)

 

정리: 독립사건

1. 두사건 A와 B가 서로 독립이면 두사건 A와 Bc도 독립이다.

P(ABc)=P(A)P(Bc|A)

=P(A)[1P(B|A)]

=P(A)[1P(B)]

=P(A)P(Bc)

2. 두사건 A와 B가 독립이면 Ac와 B도 독립이다.

3. 두사건 A와 B가 독립이면 Acbc도 독립이다.

P(AcBc)=P[(AB)c]

=1P(AB)

=1[P(A)+P(B)P(AB)]

=1P(A)P(B)+P(A)P(B)

=(1P(A))(1P(B))

=P(Ac)P(Bc)

 

상호독립사건

세 사건 A, B, C가 상호독립(mutually independent)이기 위한 필요충분 조건

1. 두사건이 서로 독립

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

2. 세사건의 교집합

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

 

 

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