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獨斷論
확률이론 정리 1 본문

모집단으로부터 표본을 취하여 모집단의 물리량을 추정한다.
표본공간(Sample space, outcome space), S)
모든 가능한 랜던샘플의 집합이다.
"잠을 푹 잤는가?"라는 질문이라면 표본공간은
S= {yes, no}
질문이 하루에 잠을 몇시간 자는가라면
S={h:h≥0}
한달에 여자들이 남자들보다 우는 날이 더 많은가라는 질문이라면
S={0,1,2,⋯,31}
Events
무작위실험을 했을때 표본공간의 부분집합을 말한다. 주로 대문자 A, B, C 등으로 나타낸다. 무작위실험을 한번 했을때 나오는 결과는 outcome이라고 한다.
A⊂S
기타사항들
- ∅ is null set or empty set
- Union: C∪D
- Intersection: A∩B
- Complement: Dc
Probability as a relative frequency
실험 한가지를 매우 많이 n번 실행했을때 사건 A가 N번 나왔을때 P(A)..
P(A)=N(A)n
Axioms
- P(A)≥0
- P(S)=1
- Mutually exclusive events, A1,A2,A3,⋯에 대하여(즉 i≠j에 대해 Ai∩Aj=∅일때)
P(A1∪A2∪⋯∩Ak)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(Ak)
Theorems
- P(A)=1−P(Ac)
- P(∅)=0
- 두 사건 A와 B에 대하여 A⊆B이면 P(A)≤P(B)
- P(A)≤1
- P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Permutation
n개의 개체를 서로다른 r개의 위치에 놓을수 있는 가지수
nPr=n!(n−r)!=n×(n−1)×⋯[n−(r−1)]
Combination
n개의 개체를 순서없이 r개의 위치에 놓을수 있는 가지수
nCr=(nr)=n!r!(n−r)!
또는
nCr=nPrr!
조건부확률
P(A|B)=P(A∩B)P(B)
조건부확률 성질
P(A|B)≥0
P(B|B)=1
A1,A2,⋯,Ak가 mutually exclusive일때
P(A1∪A2∪⋯∪Ak|B)=P(A1|B)+P(A2|B)+⋯+P(Ak|B)
곱하기규칙
두 사건이 동시에 일어날 확률
P(A∩B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
세사건에 대해서
P(A∩B∩C)=P[(A∩B)∩C)]=P(C|A∩B)⏟a×P(A∩B)⏟b
P(A∩B)=P(B|A)×P(A)⏟b:
P(A∩B∩C)=P(C|A∩B)⏟a×P(B|A)×P(A)⏟b
독립사건
한 사건이 다른사건의 확률에 두사건은 서로 독립이다.
P(B|A)=P(B)
P(A|B)=P(A)
두 사건이 독립일때 교집합의 확률은 다음과 같다.
P(A∩B)=P(A)×P(B|A)=P(A)×P(B)
두사건이 독립일 필요충분조건
두 사건 A와 B가 독립일 필요충분조건은
P(A∩B)=P(A)×P(B)
정리: 독립사건
1. 두사건 A와 B가 서로 독립이면 두사건 A와 Bc도 독립이다.
P(A∩Bc)=P(A)⋅P(Bc|A)
=P(A)⋅[1−P(B|A)]
=P(A)⋅[1−P(B)]
=P(A)⋅P(Bc)
2. 두사건 A와 B가 독립이면 Ac와 B도 독립이다.
3. 두사건 A와 B가 독립이면 Ac와 bc도 독립이다.
P(Ac∩Bc)=P[(A∪B)c]
=1−P(A∪B)
=1−[P(A)+P(B)−P(A∩B)]
=1−P(A)−P(B)+P(A)P(B)
=(1−P(A))(1−P(B))
=P(Ac)P(Bc)
상호독립사건
세 사건 A, B, C가 상호독립(mutually independent)이기 위한 필요충분 조건
1. 두사건이 서로 독립
P(A∩B)=P(A)P(B)
P(A∩C)=P(A)P(C)
P(B∩C)=P(B)P(C)
2. 세사건의 교집합
P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)