베이즈 확률표 Bayesian probability table - 2

베이즈 확률표 Bayesian probability table에 이어서 공을 하나 더 꺼냈을때 파란공이 나왔다고 가정하자.

즉, 공이 5개 들은 주머니에서 공을 1개 꺼냈을때 빨간공이고, 이 빨간공을 다시 주머니에 넣지 않고 공을 1개 더 꺼냈을때 파란공이 나왔다고 가정하면..

아래 두가지 방법으로 문제를 풀수 있다.

방법1: 파란공을 꺼낸 사건만 이용하여 likelihood를 계산하고 prior는 빨간공만 꺼냈을때 posterior를 prior로 이용.

방법2: 빨간공을 꺼내고 파란공을 꺼낸 사건을 이용하여 likelihood를 계산하고 prior는 1/6을 사용.

 

방법1

빨간공을 꺼낸 사건을 D1, 파란공을 꺼낸 사건을 D2라고 하면 $p(\theta | D1)$이 이번 문제의 prior가 된다. 즉,

베이즈 확률표 Bayesian probability table에서 구한 posterior가 이번 문제의 prior이다.

$\theta$	prior	likelihood	prior x likelihood	posterior
0  1  2  3  4  5	0  1/15  2/15  3/15  4/15  5/15
sum

이제 위 표의 빈칸만 채우면 되는데 likelihood는 빨간공과 파란공을 꺼낸 사건의 likelihood가 아니라 파란공만 꺼냈을때 likelihood를 사용한다.

원래 빨간공이 1개 파란공이 4개 빨간공을 1개 꺼냈을때, 파란공을 꺼낼 확률은 4/4이다.

원래 빨간공이 2개 파란공이 3개 빨간공을 1개 꺼냈을때, 파란공을 꺼낼 확률은 3/4이다.

원래 빨간공이 3개 파란공이 2개 빨간공을 1개 꺼냈을때, 파란공을 꺼낼 확률은 2/4이다.

원래 빨간공이 4개 파란공이 1개 빨간공을 1개 꺼냈을때, 파란공을 꺼낼 확률은 1/4이다.

원래 빨간공이 5개 파란공이 0개 빨간공을 1개 꺼냈을때, 파란공을 꺼낼 확률은 0/4이다.

위와 같이 구한 likelihood를 위 표의 빈칸을 채우면 아래와 같다.

$\theta$	prior	likelihood	prior x likelihood	posterior
0  1  2  3  4  5	0  1/15  2/15  3/15  4/15  5/15	(??)  4/4  3/4  2/4  1/4  0/4	0  1/15  1/10  1/10  1/15  0	0  (1/15) (3) = 1/5  (1/10) (3) = 3/10  (1/10) (3) = 3/10  (1/15) (3) = 1/5  0
sum			1/3	1

따라서 빨간공과 파란공이 총 5개 들어있는 주머니에서 공을 1개 꺼냈을때 빨간공이고, 이 공을 다시 주머니에 넣지 않고 공을 1개 꺼냈을때 파란공이라면, 이 주머니에 빨간공은 2개나 3개 들어있을 확률이 가장 큼을 알수 있다. 

 

방법2

이 문제를 2단계를 거치지 않고 한꺼번에 풀어보자.

주머니에 들어있는 빨간공의 갯수를 $\theta$라고 하고 prior $p(\theta)$는 1/6로 놓는다.

$\theta$	prior,  $p(\theta)$	likelihood,  $p(D1, D2 \, | \, \theta)$	likelihood x prior	posterior,  $p(\theta \, | \, D1 , D2)$
0  1  2  3  4  5	1/6  1/6  1/6  1/6  1/6  1/6
sum

이제 위 표의 빈칸을 채워보자.

원래 주머니에 빨간공 0개 파란공 5개가 있을때, 빨간공을 1개 꺼내고 파란공을 1개 꺼낼확률은 (0/5)(4/4) = 0

원래 주머니에 빨간공 1개 파란공 4개가 있을때, 빨간공을 1개 꺼내고 파란공을 1개 꺼낼확률은 (1/5)(4/4) = 4/20

원래 주머니에 빨간공 2개 파란공 3개가 있을때, 빨간공을 1개 꺼내고 파란공을 1개 꺼낼확률은 (2/5)(3/4) = 6/20

원래 주머니에 빨간공 3개 파란공 2개가 있을때, 빨간공을 1개 꺼내고 파란공을 1개 꺼낼확률은 (3/5)(2/4) = 6/20

원래 주머니에 빨간공 4개 파란공 1개가 있을때, 빨간공을 1개 꺼내고 파란공을 1개 꺼낼확률은 (4/5)(1/4) = 4/20

원래 주머니에 빨간공 5개 파란공 0개가 있을때, 빨간공을 1개 꺼내고 파란공을 1개 꺼낼확률은 (5/5)(0/4) = 0

$\theta$	prior,  $p(\theta)$	likelihood,  $p(D1, D2 \, | \, \theta)$	likelihood x prior	posterior,  $p(\theta \, | \, D1 , D2)$
0  1  2  3  4  5	1/6  1/6  1/6  1/6  1/6  1/6	0  4/20  6/20  6/20  4/20  0	0  4/120  6/120  6/120  4/120  0	0  (4/120) (6) = 1/5  (6/120) (6) = 3/10  (6/120) (6) = 3/10  (4/120) (6) = 1/5  0
sum			1/6	1

방법1과 방법2에서 구한  posterior가 같음을 알수 있고 공이 5개 들은 주머니에서 처음에 빨간공을 하나 꺼내고 파란공을 하나 꺼냈을때 이 주머니에 빨간공은 2개나 3개 들어있을 확률이 가장 크다.