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베이즈 확률표 Bayesian probability table - 3 본문
Likelihood가 binomial 분포를 따를때 베이즈확률표를 계산해보도록 한다.
한번 수행할때 $\pi$의 성공확률이 있는 시행을 N번 수행했을때 y번 성공할 확률은 $binomial(n, $pi)$를 따르는데 이를 Bayesian으로 나타내면
$$p(y | \, \pi) = \left(\begin{array}{c}N\\ y\end{array}\right) \pi^y (1-\pi)^{N-y}$$
이다.
예를들어,
한번 수행했을때의 성공확률 $\pi$가 0.4, 0.5, 0.6인 시행이 있다고 가정하자(실제로는 무한대의 $\pi$가 존재하지만 여기서는 문제를 간략히 하기 위하여 0.4, 0.5, 0.6만 존재한다고 가정하였다). 이 시행을 N=4번 수행할때 y=3번 성공했다면 $\pi$의 값 0.4, 0.5, 0.6 중 어느값이 가장 큰 확률을 갖는지 계산해보자.
$\pi$의 prior는 3개 모두 같은 확률로 나타난다고 가정하여 1/3로 둔다.
$\pi$ | prior $p(\pi)$ |
likelihood, $p(y | \, \pi)$ |
likelihood x prior | posterior |
0.4 0.5 0.6 |
1/3 1/3 1/3 |
|||
sum |
위 표의 likelihood를 계산해보자.
$N=4, y=3, \pi=0.4$일때 $ \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) 0.4^3 (1-0.4)^{4-3} = 0.1536$
$N=4, y=3, \pi=0.5$일때 $ \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) 0.5^3 (1-0.5)^{4-3} = 0.25$
$N=4, y=3, \pi=0.6$일때 $ \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) 0.6^3 (1-0.6)^{4-3} = 0.3456$
위와같이 손으로 계산하지 않고 R에서 함수를 사용하면
> dbinom(x=3, size=4, prob=0.4)
[1] 0.1536
> dbinom(x=3, size=4, prob=0.5)
[1] 0.25
> dbinom(x=3, size=4, prob=0.6)
[1] 0.3456
위 계산된 값으로 표를 채운다.
$\pi$ | prior $p(\pi)$ |
likelihood, $p(y | \, \pi)$ |
likelihood x prior | posterior |
0.4 0.5 0.6 |
1/3 1/3 1/3 |
0.1536 0.25 0.3456 |
0.0512 0.0833 0.1152 |
0.2050 0.3336 0.4614 |
sum | 0.2497 |
따라서 $\pi$는 0.6일 확률이 가장크다.