확률이론 정리6. 기하분포와 음이항분포

기하분포(Geometric Distribution)

성공할 확률이 $p$이고 실패할 확률이 $1-p$인 시행에 있을때, $X$를 이 시행을 성공할때까지 수행한 횟수라고 하면 $X$의 probability mass function은

$$f(x)=P(X=x)=(1-p)^{x-1}p$$

여기서 $x=1,2, \cdots$

이때 X를 기하분포를 따른다고 말한다.

 

누적분포함수

$$F(x) = P(X \le x) = 1 - \left(1-p \right)^x$$

 

평균

$$\mu = E(X) = \frac {1}{p}$$

 

분산

$$\sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}$$

 

예제1

국가평균으로 박사의 비율이 0.2라고 가정하고,

길거리에서 임으로 사람을 선택하여 최종학력을 물어왔을때,

4명을 만나야만 박사학위를 가진 사람을 최초로 만날 확률은 얼마인가?

$p = 0.2$

$x=4$

$P(X=x) = (1-p)^{x-1} p = 0.8^3 \times 0.2 = 0.1024$

 

예제2

6명 이상 만나야만 박사를 처음 만날 확률은 얼마인가?

$P(X \gt 6) = 1 - P(X \le 6) = 1 - \left( 1-0.8^6  \right) = 0.2621$

 

음이항분포(Negative Binomial Distribution)

성공할 확률이 $p$이고 실패할 확률이 $1-p$인 시행이 있다고 가정하자. 이 시행을 $X$번 시행했을때, $X$번째 시행에서 $r$번째 성공할 시행횟수를 확률변수 $X$로 나타내면 이는 음이항분포를 따른다. 

$$f(X) = P(X = x) = \dbinom{x-1}{r-1} (1-p)^{x-r} p^r$$

여기서

$x = r, r+1, r+2, \cdots$

 

예제)

국가평균으로 박사의 비율이 0.2라고 가정하자. 이때 길거리에서 임으로 사람을 선택하여 최종학력을 물어보는 시행을 생각하면, 이때 10번째 사람이 3번째 박사일 확률은 얼마인가?

성공할 확률 $p = 0.2$

9명의 사람에서 2명의 박사가 나오고 마지막 10번째 사람이 박사일 확률과 같다.

[ F  F  S  F  F  F  F  F  S]  S
[ 1  2  3  4  5  6  7  8  9]  10

따라서 확률 $p(X=10)$은 (10번째에서 성공할 확률 0.2) x (9번 시행에서 2번 성공할 확률)과 같다.

9번 시행에서 2번 성공할확률은 $\dbinom{9}{2} (0.8)^{9-2} (0.2)^2$이므로 위 예제에서 구하고자 하는 확률은

$\begin{align}p(X = 10) &= \dbinom{9}{2} (0.8)^{9-2} (0.2)^2 \times (0.2) \\ &= \dbinom{9}{2} 0.8^7 0.2^3 \end{align}$

 

기하분포는 음이항분포의 $r=1$인 경우이다.

 

음이항분포의 평균

$$\mu = E(X) = \frac {r}{p}$$

 

음이항분포 분산

$$\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}$$

 

예제)

원유시굴할때 평균적으로 0.2의 확률로 원유를 발굴할수 있다고 가정하자. 이때 3번을 시굴하여 처음으로 원유를 발굴할 확률은 얼마인가?

$r=1$

$x=3$

$P(X=3) = \dbinom{3-1}{1-1} 0.8^2 0.2^1 = 0.128$

 

예제)

3번째 원유를 발굴이 7번째 시굴할때 나타날 확률은 얼마인가

$p=0.2$

$r=3$

$x=7$

$P(X = 7) = \dbinom{7-1}{3-1} (1-p)^{7-3} p^3 = \dbinom{6}{2} 0.8^4 0.2^3 = 0.049$

 

예제)

3개를 발굴하기 위하여 평균으로 시추해야하는 횟수는 얼마인가

$\mu = r/p = 3/0.2 = 15$