확률이론 정리7. 포아송 분포(Poisson Distribution)

포아송 분포

$X$가 포아송 확률변수일때 p.m.f.는 다음과 같다.

$$f(x) = \frac {e^{-\lambda} \lambda^x} {x !}$$

여기서 $x = 0, 1, 2, \cdots$이고 $\lambda >0$

 

평균과 분산

$E(X) = \lambda$

$\sigma^2 = \lambda$

 

예제

$X$가 인쇄된 책 1쪽당 발생할 인쇄오류갯수라고 할때, 이 책에서 임으로 1쪽을 선택할때 적어도 1개 이상의 인쇄오류가 발생할 확률은?

 

$\lambda = 3$

적어도 한개이상 오류가 발생할 확률은 $P(X \ge\ 1) = 1 - P(X = 0)$이므로

$\begin{align}  P(X \ge 1) &= 1 - \frac {e^{-3} 3^{0}} {0!} \\ &= 1 - e^{-3} \\ &= 0.9502 \end{align}$

 

R을 사용하면

> 1 - ppois(q=0, lambda=3)
[1] 0.9502129

 

예제

1쪽당 많아야 1개 인쇄오류가 있을 확률은

 

$P(X \ge 1) = P(X=0) + (X=1)$

$P(X \ge 1) = \frac {e^{-3} 3^0} {0 !} + \frac {e^{-3} 3^1} {1 !} = 0.1992$

> ppois(q=1, lambda=3)
[1] 0.1991483

 

예제

1쪽당 4개의 인쇄오류가 있을 확률은

 

$P(X=4) = P(X \le 4) - P(X \le 3)$이므로

> ppois(q=4, lambda=3) - ppois(q=3, lambda=3)
[1] 0.1680314

 

예제

3쪽당 적어도 8개 이상 오류가 있을 확률은

 

여기서는 $\lambda$를 다시구해야하는데 1쪽당 3개 평균적으로 발생하므로 3쪽당 평균적으로 발생할 평균적인 횟수는 9이다. 즉,

$\lambda = 3 \; \frac {error} {1 page} = 3 \; \frac {3 error} {3 page} = 9 \frac{error}{3 page}$

> 1 - ppois(q=8, lambda=9)
[1] 0.5443474