확률이론 정리 2. 베이즈 정리(Bayes theorem)

예제

전등을 만드는 3개의 공장 A, B, C에서 결함이 있는 전등을 만들 확률이 아래와 같다고 가정하자.

임의로 선택한 전등이 결함이 있을때 ,공장 C에서 만들었을 확률은 얼마인가?

 

고장난 전등을 선택한 사건을 D라고 하면 위 문제는 $P(C | D)$를 구하면 된다.

 

베이즈 정리(Bayes' Theorem)

m개의 사건 B1, B2, ..., Bm이 다음 두조건을 만족한다고 가정하자.

Mutually exclusive

$B_i \cap B_j=\emptyset$ for $i \ne j$

 

exhaustive

$\mathbf{S} = B_1 \cup B_2 \cup \cdots B_m$

 

따라서 P(A)는

$\begin{align} P(A) &= P(A \cap B_1 ) + P(A \cap B_2 ) + \cdots + P(A \cap B_m ) \\ &= \sum\limits_{i=1}^m P(A \cap B_i ) \\ &= \sum\limits_{i=1}^m P(B_i) \, P(A | B_i ) \end{align}$

 

사건 A가 일어난 조건하에 사건 Bk가 일어날 확률은

$\begin{align}  P(B_k | A) &= \frac { P(B_k \cap A) } {P(A)} \\ &= \frac { P(B_k ) \, P(A | B_k ) } {\sum\limits_{i=i}^m P(B_i) \, P(A | B_i)  } \end{align}$

 

예제 1

어떤 질병을 피검사를 통해 알아보고자할때 아래와 같은 정보를 가지고 있다고 가정하자.

• 병에 걸렸을때 피검사에서 병이 있다고 진단한 확률은 0.95 즉 이 진단키트의 sensitivity $P(T^+ | D) = 0.95$
• 병이 없을때 피검사에서 병이 없다고 진단할 확률 0.95 즉 이 진단키트의  specificity $P(T^- | H) = 0.95$
• 병이 없을때 피검사에서 병이 있다고 진단할 확률은 0.05 즉 $P(T^+ | H) = 1-P(T^- | H) = 0.05$
• 인구전체가 이 질병을 가지고 있을 확률 0.01 즉 $P(D) = 0.01$이고 이질병이 없을 확률 $P(H) = 0.99$

이를 표를 만들어서 계산할수도 있다.

위 테스트를 한번 더했는데 질병이 있다고 진단되었다면 질병을 가지고 있을 확률은 얼마인가

여기서 P(D)는 0.01이 아니라 위에서 계산한 0.16이 된다.

 

질병이 있을 확률은 0.78