Factorial Between-Subjects ANOVA - 두번째 (통계 R 초급 - 9)

앞서 해봤던 Factorial between-subjects ANOVA 첫번째에 이어서 두번째 시간에서는 본격적으로 ANOVA를 수행해 보기로 하자. 

우선 R에서 어떻게 ANOVA 모델을 입력하는지 그 대략을 살펴보면 아래와 같다. 

symbol	example	meaning
+	+ x	include this variable
-	- x	delete this variable
:	x : z	include the interaction between these variables
*	x * z	include these variables and the interactions between them
/	x / z	nesting: include z nested within x
|	x | z	conditioning: include x given z
^	(u + v + w)^3	include these variables and all interactions up to three way
poly	poly(x,3)	polynomial regression: orthogonal polynomials
Error	Error(a/b)	specify the error term
I	I(x*z)	as is: include a new variable consisting of these variables multiplied
1	- 1	intercept: delete the intercept (regress through the origin)

따라서 x1과 x2의 두 변수를 독립변수로 보고 ANOVA를 수행한다면 

y ~ x1 + x2 라고 하면 되고 

두 변수의 intereaction까지 고려한다면 

y ~ x1 * x2 라고 입력하면 된다. 

앞서 Factorial between-subjects ANOVA 첫번째에서 행했던 데이터와 코드를 없앴다면 아래와 같이 수행하면 되고 그렇지 않다면 아래 3줄은 생략하면 된다.

> data(ToothGrowth)

> ToothGrowth$dose = factor(ToothGrowth$dose, levels=c(0.5, 1.0, 2.0), labels=c("low", "med", "high"))

> str(ToothGrowth)     

 'data.frame': 60 obs. of  3 variables:

 $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...

 $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...

 $ dose: Factor w/ 3 levels "low","med","high": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

ANOVA를 수행하기 위한 R script는 다음과 같다. 

> aov.out = aov(len ~ supp * dose, data = ToothGrowth)

> summary(aov.out)

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    

supp         1  205.3   205.3  15.572 0.000231 ***

dose         2 2426.4  1213.2  92.000  < 2e-16 ***

supp:dose    2  108.3    54.2   4.107 0.021860 *  

Residuals   54  712.1    13.2                     

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

위 결과로부터 main effect인 supp과 dose는 모두 p < 0.05이므로 significant하고 interaction effect도 0.02 < 0.05로 significant하다고 볼수 있다. 

그렇다면 실제적으로 어떤 그룹사이의 차이가 ANOVA 결과를 significant하게 만들었는지는 post hoc 테스트를 수행해 보아야만 한다. 

> TukeyHSD(aov.out)

  Tukey multiple comparisons of means

    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = len ~ supp * dose, data = ToothGrowth)

$supp

      diff       lwr       upr     p adj

VC-OJ -3.7 -5.579828 -1.820172 0.0002312

$dose

           diff       lwr       upr   p adj

med-low   9.130  6.362488 11.897512 0.0e+00

high-low 15.495 12.727488 18.262512 0.0e+00

high-med  6.365  3.597488  9.132512 2.7e-06

$`supp:dose`

                 diff        lwr        upr     p adj

VC:low-OJ:low   -5.25 -10.048124 -0.4518762 0.0242521

OJ:med-OJ:low    9.47   4.671876 14.2681238 0.0000046

VC:med-OJ:low    3.54  -1.258124  8.3381238 0.2640208

OJ:high-OJ:low  12.83   8.031876 17.6281238 0.0000000

VC:high-OJ:low  12.91   8.111876 17.7081238 0.0000000

OJ:med-VC:low   14.72   9.921876 19.5181238 0.0000000

VC:med-VC:low    8.79   3.991876 13.5881238 0.0000210

OJ:high-VC:low  18.08  13.281876 22.8781238 0.0000000

VC:high-VC:low  18.16  13.361876 22.9581238 0.0000000

VC:med-OJ:med   -5.93 -10.728124 -1.1318762 0.0073930

OJ:high-OJ:med   3.36  -1.438124  8.1581238 0.3187361

VC:high-OJ:med   3.44  -1.358124  8.2381238 0.2936430

OJ:high-VC:med   9.29   4.491876 14.0881238 0.0000069

VC:high-VC:med   9.37   4.571876 14.1681238 0.0000058

VC:high-OJ:high  0.08  -4.718124  4.8781238 1.0000000

위 결과로부터 우리는 아래와 같은 것을 알수 있다. 

• supp의 main effect는 2 그룹 사이에 significant하다. 
• dose의 main effect도 각각의 그룹 사이에서 significant하다. 
• supp:dose의 simple main effect는 파랗게 칠한 것을 제외하면 모두 significant하다. 

위 post hoc test를 그림으로도 나타낼수 있다. 

> plot(TukeyHSD(aov.out))

이밖에 ANOVA 결과를 그래프로 볼수도 있다. 

아래와 같이 수행하면 된다. 

> plot(aov.out)