베이즈 확률표 Bayesian probability table - 4

Likelihood가 poisson 분포를 따를때 베이즈확률표를 구해보도록한다.

어떤 사건이 (단위 시간, 면적, 길이, 또는 부피 당) 발생횟수의 평균값이 $\lambda$라고 알려져있을때 이 사건이 y번 발생할 확률은 아래와 같다.

$$p(y | \, \lambda) = \frac{ e^{-\lambda} \lambda^y}{y!}$$

 

예를들어 어떤 사건이 발생할 횟수의 평균값이 1.0, 1.5, 2.0, 2.5이고 이 각각의 사건이 발생할 prior 확률이 1/6, 1/3, 1/3, 1/6이라고 알려져있을때, 이 사건이 2번 발생한것이 관측되었다면 평균발생횟수 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 중에 가장 큰 posterior 확률을 갖는 값은 무엇인지 알아보자.

$\lambda$	prior	likelihood	prior x likelihood	posterior
1.0  1.5  2.0  2.5	1/6  1/3  1/3  1/6
sum

likelihood를 계산하면

$\lambda=1$일때 $\frac {1^2 \, e^{-1}} {2!} = 0.1839$

$\lambda=1.5$일때 $\frac {1.5^2 \, e^{-1.5}} {2!} = 0.2510$

$\lambda=2.0$일때 $\frac {2^2 \, e^{-2}} {2!} = 0.2707$

$\lambda=2.5$일때 $\frac {2.5^2 \, e^{-2.5}} {2!} = 0.2565$

 

R을 이용하여 계산하면

> dpois(x=2, lambda=1)
[1] 0.1839397

> dpois(x=2, lambda=1.5)
[1] 0.2510214

> dpois(x=2, lambda=2.0)
[1] 0.2706706

> dpois(x=2, lambda=2.5)
[1] 0.2565156

이제 빈칸을 채워면 아래와 같다.

$\lambda$	prior	likelihood	prior x likelihood	posterior
1.0  1.5  2.0  2.5	1/6  1/3  1/3  1/6	0.1839  0.2510  0.2707  0.2565	0.0307  0.0837  0.0902  0.0428	0.1241  0.3383  0.3646  0.1730
sum			0.2474	1

사건이 y=2번 발생하였으므로 그 평균값 $\lambda$도 2일 확률이 가장 크다.