확률이론 정리10. 카이제곱분포(Chi-Square Distribution)

카이제곱분포

감마분포에서 $\theta=2$이고 $\alpha= \dfrac{r}{2}$이고 이때 $r$은 양의 정수라고 할때 확률밀도함수 f(x)는

$$f(x)=\dfrac{1}{\Gamma (r/2) 2^{r/2}}x^{r/2-1}e^{-x/2}$$

이고 이때 확률변수 $X$는 자유도가 $r$인 카이제곱분포를 따른다고 말한다. 주로 $\chi^2 (r)$로 나타낸다.

 

평균과 분산

$$\mu = E(X) = r$$

$$\sigma^2 = 2r$$

 

Upper 100$\alpha^{th}$ percentile

$\alpha$를 0과 1 사이의 확률이라고 생각할때(위 감마분포의 $\alpha$가 아님), 자유도가 r인 카이제곱 분포의 upper 100$\alpha^{th}$ percentile은 $\chi^{2}_{\alpha} (r)$로 나타내고 이때 $\alpha$의 값은 아래 그림의 파란색 면적에 해당한다.

즉,

$\alpha = P(X \ge \chi^{2}_{\alpha} (r))$

 

100$\alpha^{th}$ percentile

자유도가 r인 카이제곱분포의  100$\alpha^{th}$ percentile은 $\chi^{2}_{1-\alpha} (r)$로 나타내고 이때 $1-\alpha$는 아래 그림의 파란색 면적과 같다

$1-\alpha = P(X \ge \chi^{2}_{1-\alpha} (r)$

 

예제

X가 자유도 10인 카이제곱분포를 따르는 확률변수라고 할때 upper 5th percentile을 구하면?

 

$P(X \ge \chi^{2} (r)) = 0.05$가 되는 $\chi^{2} (r)$를 구하는 문제이다.

> qchisq(p=0.05, df=10, lower.tail=FALSE)
[1] 18.30704

 

예제

X가 자유도 10인 카이제곱분포를 따르는 확률변수라고 할때 10th percentile을 구하면?

 

$P(X \le \chi^{2} (r)) = 0.10$가 되는 $\chi^2$를 구하면 되므로

> qchisq(p=0.10, df=10, lower.tail=TRUE)
[1] 4.865182

 

예제

자유도가 10인 카이제곱 확률변수가 15.99보다 클 확률은

> pchisq(q=15.99, df=10, lower.tail=FALSE)
[1] 0.09991902