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확률이론 정리8. 지수분포(Exponential Distribution) 본문

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확률이론 정리8. 지수분포(Exponential Distribution)

부르칸 2021. 11. 11. 08:01

X가 포아송 확률변수이고 일정가간동안 은행에 도착하는 손님수라고 가정하자. 이때 λ를 일정기간( 또는 1기간)동안 도착하는 평균 손님수라고 하면

처음으로 손님이 도착하는데 걸리는 시간을 확률변수 W로 나타내면, 첫번째 손님이 도착하는데 걸리는 평균시간, θ1/λ와 같다.

θ=1λ

이때 첫번째 손님이 도착하는게 걸리는 시간은 지수분포(exponential distribution)를 따른다.

 

지수분포

X가 지수분포를 따르는 확률변수일때 확률밀도함수는 다음과 같다

f(x)=1θex/θ

여기서 θ>0이고 x0이다.

 

평균과 분산

μ=E(X)=θ

σ2=Var(X)=θ2

 

예제

학생들이 술집을 방문할때 평균적으로 1시간에 30명의 학생들이 방문하며 이 학생의 명수는 포아송분포를 따른다고 하자. 술집주인이 방문하는 학생을 3분이상 기다려야하는 확률은?

 

X를 술집을 방문하는 학생수라고 하면 Poisson mean rate λ=30person60 minute 이므로 1분당 따진다면 λ=0.5person/minute이다.  θ를 다음 학생을 기다려야만 하는 시간으로 보면 θ=1/λ=2minutes이다. W를 평균이 2인 지수분포로 본다면(θ=2) 이의 p.d.f.는 다음과 같다

f(w)=12ew/2

3분 이상 기다려야만 하는 확률은

P(W>3)=312ew/2dw=12lim

 

위 식을 계산해도 되지만 R을 이용하면

> 1 - pexp(q=3, rate=0.5)
[1] 0.2231302

R을 사용할때 주의해야할점은 \theta를 사용하지 않고 \lambda를 사용해야한다는 것이다. 그래서 rate에 0.5를 사용하였다.

 

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