확률이론 정리8. 지수분포(Exponential Distribution)

$X$가 포아송 확률변수이고 일정가간동안 은행에 도착하는 손님수라고 가정하자. 이때 $\lambda$를 일정기간( 또는 1기간)동안 도착하는 평균 손님수라고 하면

처음으로 손님이 도착하는데 걸리는 시간을 확률변수 $W$로 나타내면, 첫번째 손님이 도착하는데 걸리는 평균시간, $\theta$는 $1 / \lambda$와 같다.

$$\theta = \frac {1}{\lambda}$$

이때 첫번째 손님이 도착하는게 걸리는 시간은 지수분포(exponential distribution)를 따른다.

 

지수분포

$X$가 지수분포를 따르는 확률변수일때 확률밀도함수는 다음과 같다

$$f(x) = \frac {1}{\theta} e^{-x / \theta}$$

여기서 $\theta \gt 0$이고 $x \ge 0$이다.

 

평균과 분산

$$\mu = E(X) = \theta$$

$$\sigma^2 = Var(X) = \theta^2$$

 

예제

학생들이 술집을 방문할때 평균적으로 1시간에 30명의 학생들이 방문하며 이 학생의 명수는 포아송분포를 따른다고 하자. 술집주인이 방문하는 학생을 3분이상 기다려야하는 확률은?

 

$X$를 술집을 방문하는 학생수라고 하면 Poisson mean rate $\lambda=30 \frac {\textrm{person}}{\textrm{60 minute}}$ 이므로 1분당 따진다면 $\lambda = 0.5 \; \textrm{person} / \textrm{minute}$이다.  $\theta$를 다음 학생을 기다려야만 하는 시간으로 보면 $\theta = 1/\lambda = 2 \; \textrm{minutes}$이다. $W$를 평균이 2인 지수분포로 본다면($\theta=2$) 이의 p.d.f.는 다음과 같다

$$f(w) = \frac {1}{2} e^{-w/2}$$

3분 이상 기다려야만 하는 확률은

$\begin{align} P(W \gt 3) &= \int_{\infty}^{3}  \frac {1}{2} e^{-w/2} dw \\ &= \frac{1}{2} \; \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{b}^{3} e^{-w/2} dw  \end{align}$

 

위 식을 계산해도 되지만 R을 이용하면

> 1 - pexp(q=3, rate=0.5)
[1] 0.2231302

R을 사용할때 주의해야할점은 $\theta$를 사용하지 않고 $\lambda$를 사용해야한다는 것이다. 그래서 rate에 0.5를 사용하였다.